Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. gdyby rozumowanie matematyczne jest poprawne, to przy poprawnych założeniach istnieje pewność otrzymania poprawnych wniosków. Jeśli w rozumowaniu jest jakakolwiek nieścisłość, takiej gwarancji nie ma. Stąd wynika olbrzymi nacisk, kładziony w matematyce dla ścisłość rozumowania. W utrzymaniu tej ścisłości pomaga omawiany dalej formalizm logiczny a legat matematyczny.
Nie znaczy to, iż w matematyce wyobraźnia, głębia, czy intuicja nie są ważne. Matematyka nie może sensownie być bez aparatu formalnego, ale formalizm tworzy tylko ramy dla inwencji i twórczego myślenia matematyka, analogicznie jak gramatyka języka tworzy ramy dla inwencji pisarza. Formalizm, chociażby w praktyce tylko przybliżony, jest metodą obiektywnego porozumiewania się matematyków. Można używać dla omawiania pojęć matematycznych zwykłego języka naturalnego, acz ma owo clou tylko ano długo, jak długo da się taki opis jednoznacznie przetłumaczyć na formalizm (nawet jeśli to egzegeza nie jest w praktyce wykonane).
Formalna struktura matematyki wygląda następująco:
* Wybierany jest tzw. abecadło złożony ze skończonej liczby rozróżnialnych znaków (np. liter, cyfr, znaków matematycznych, itp.).
* Tworzony jest język formalny, na który składają się słowa złożone ze znaków alfabetu.
* Słowa tworzą wyrażenia, w tym zdania. Praktyczne teorie powinny pozwalać na mechaniczne (algorytmiczne) sprawdzanie, które ciągi symboli tworzą poprawnie zbudowane zdania oraz mieć jednoznaczną, dającą się algorytmicznie rozpoznać składnię[11].
* Formalne języki służą za podstawę teoriom formalnym (wciąż ogólniejszym odkąd matematycznych). Teoria formalna pomimo języka wprowadza pojęcie twierdzenia (specjalny forma zdań adekwatnie zbudowanych) i reguł dowodzenia.
* Jedną od teorii formalnych jest logistyka matematyczna. Te z formalnych teorii, które zawierają logikę matematyczną, nazywane są teoriami matematycznymi. gros teorii matematycznych zawiera też teorię mnogości. Wraz od logiką matematyczną (klasyczną) przychodzi formalne pojęcie prawdy, które można zdefiniować na wiele sposobów.
* Teorią matematyczną nazywany jest formalnie dowolny niesprzeczny zbiór zdań. W praktyce z symboli języka formalnego wydziela się tzw. pojęcia pierwotne[12]. Na tym etapie o pojęciach pierwotnych nic coraz nie wiadomo. Na odpis pojęciami pierwotnymi dwuwymiarowej geometrii euklidesowej są punkt, prosta i bajka \”punkt leży na prostej\”.
* Zwykle budowana jest tzw. aksjomatyka, czyli wyróżniany jest zestaw zdań zwanych aksjomatami, mówiących o relacjach między pojęciami pierwotnymi[13]. do geometrii euklidesowej jednym z aksjomatów jest: \”Przez każde dwa punkty można dokonać prostą\”.
* Używając reguł wnioskowania, można rozpoczynając od aksjomatów dowodzić rozmaitych twierdzeń danej teorii.
* Teoria nie musi (i nie może) w żaden sposób odnosić się dla innych bractwo pojęć pierwotnych niż te, które zostały wyrażone przez aksjomaty lub z nich wynikają. Jeśli jakieś pojęcia zostaną zdefiniowane w taki sposób, aby podstawione w miejsce pojęć pierwotnych teorii spełniały jej aksjomaty (operacja ta nazywa się interpretacją), twierdzenia teorii będą prawdziwe dodatkowo dla tych nowo zdefiniowanych pojęć. Taki zestaw interpretacji pojęć pierwotnych zwany jest modelem danej teorii. Modelem płaskiej geometrii euklidesowej jest np. kartezjański układ współrzędnych (ściślej tzw. obszar kartezjańska), gdzie artykuł interpretowany jest jak dubel liczb (zwanych współrzędnymi), prosta - jako zbiór punktów (x,y) spełniających równanie (yA − yB)(x − xB) − (xA − xB)(y − yB) = 0, natomiast relację \”punkt leży dla prostej\” interpretuje się jako relację przynależności dla tego zbioru.
* nad hipoteza matematyczna była opisywana z bardzo formalnego punktu widzenia, tzn. dzięki pryzmat operacji na symbolach matematycznych. Matematycy jednak normalnie nie wyobrażają sobie matematyki w ten sposób. Rozumują raczej w kategoriach przestrzeni i struktur, składających się z pewnego zbioru elementów (np. liczb) oraz działań i relacji pomiędzy nimi (np. stosunki porządku i działania algebraczne). Zbiory wraz z różnego rodzaju powiązaniami pomiędzy ich elementami zwane są właśnie strukturami albo przestrzeniami. Na poziomie formalnym pojęcia te to synonimy pojęcia modelu, jednak koncepcyjnie podejście to pozwala skoncentrować się na bardziej uchwytnych obiektach (elementach przestrzeni), zamiast na formalnych manipulacjach symbolami.
W praktyce matematycy niewiele wiedzą lub niewiele się przejmują powyższym formalizmem i daną teorię rozszerzają (czyli tworzą, formalnie mówiąc, nową teorię). Poprawne (w sensie praktycznym) dowody matematyczne muszą być jednak w odczuciu matematyków sprowadzalne dla dowodów formalnych. Obecnie rozwija się skomputeryzowana formalizacja matematyki, pozwalająca dla pełny formalny zapis dowodów dający się aplikować w praktyce.
Chociaż działalność matematyczna polega na tworzeniu nowych pojęć matematycznych i dowodzeniu twierdzeń na temat pojęć aktualnie istniejących, owo taka definicja nie oddałaby wszelakich niuansów uprawiania matematyki. Jak stwierdził Gian-Carlo Rota: \”Często słyszymy, iż matematyka sprowadza się szczególnie dla \’dowodzenia twierdzeń\’. azali praca pisarza sprowadza się szczególnie dla \’pisania zdań\’?\”
